Отметим, что существует много способов решения этой задачи, даже более простых, чем рассмотренные ниже. Однако нам важен именно подход. Поэтому не стоит обвинять авторов в заведомой неэффективности, тем более, что подобные способы окажутся чуть ли не единственно эффективными через несколько задач.

Самый очевидный способ “решения” задачи состоит в написании рекурсивной функции примерно следующего вида:

	Function F(X:integer):longint;
	Begin
		if (X = 1) or (X = 2) then F := 1 else F := F(X - 1) + F(X - 2)
	end;

При этом где-то в середине четвертого десятка программа “подвешивает” самый быстрый компьютер (напомним, что по правилам олимпиад время на прохождение теста ограничивается, чаще всего это 10–15 секунд). Попробуем разобраться, почему так происходит? Для вычисления F(40) мы сперва вычисляем F(39) и F(38). Причем F(38) мы считаем “по новой”, “забывая”, что уже вычислили его, когда считали F(39). То есть наша основная ошибка в том, что значение функции при одном и том же значении аргумента считается много (слишком много!) раз. Если исключить повторный счет, то функция станет заметно эффективней. Для этого приходится завести массив, в котором хранятся значения нашей функции:

	Var D : Array [1..50] of LongInt;

Срабатывает золотой закон программирования — выигрывая в скорости, проигрываем в памяти. Сперва массив заполняется значениями, которые заведомо не могут быть значениями нашей функции (чаще всего, это “минус единица”, но в нашей задачке вполне годится для этих целей “ноль”). При попытке вычислить какое-то значение, программа смотрит, не вычислялось ли оно ранее, и если да, то берет готовый результат. Функция принимает следующий вид (не верьте, пожалуйста, книгам, утверждающим, что искать числа Фибоначчи рекурсивно нельзя в принципе — можно, если отсечение делать с умом):

	Function F(X : integer) : LongInt;
	Begin
		if D[X] = 0
		then
			if (X = 1) or (X = 2)
			then D[X] := 1
			else D[X] := F(x - 1) + F(x - 2);
	  	F := D[X]
	End;

На этом уже можно остановиться, но можно еще более упростить решение, убрав рекурсию вообще. Для этого необходимо сменить нисходящую логику рассуждения (от того, что надо найти к тривиальному) на восходящую (соответственно наоборот). В этой задаче такой переход очевиден и описывается простым циклом:

	D[1] := 1; D[2] := 1;
	For i := 3 to X do D[i] := D[i-1] + D[i-2];

Чаще всего такой способ раза в три быстрее. Но очень часто для его написания приходится использовать как промежуточный результат нисходящую форму, а иногда безрекурсивная (итеративная) форма оказывается чрезвычайно сложной и малопонятной. Не стоит забывать и о том, что время на олимпиаде ограничено. Еще об одном недостатке второй формы будет сказано через несколько задач. Суммируя, можно дать совет участнику (отнеситесь к нему критически): “Пишите и тестируйте рекурсивную форму, а переделыванием занимайтесь, если ваша программа превышает отведенное ей время на “больших” тестах”.